Abstract delle relazioni e delle comunicazioni

Relazioni su invito

Giorgio Goldoni – Una definizione assoluta di gradiente applicata a problemi geometrici di massimo e di minimo. (Quando le coordinate diventano un ostacolo alla ricerca e alla comprensione della soluzione)

In questo lavoro si mettono a confronto diversi metodi per la risoluzione di alcuni problemi geometrici classici di massimo e di minimo. Dopo aver ricordato la geniale soluzione ottenuta per via sintetica, gli stessi problemi vengono affrontati con l’uso delle coordinate e del calcolo differenziale, che da una parte presenta il notevole vantaggio di fornire una tecnica assai generale, dall’altra il difetto di condurre a calcoli che possono diventare proibitivi e, inoltre, di fornire una soluzione di difficile interpretazione a dispetto della semplice formulazione geometrica del problema. Un approccio infinitesimale mediante l’uso di microscopi non-standard, senza passare attraverso il calcolo, fornisce poi una tecnica che, nei casi più semplici, consente di arrivare alla soluzione in modo direttamente geometrico, ma che rivela presto dei grossi limiti. Si passa quindi a definire, con metodi infinitesimali e senza l’uso delle coordinate, il vettore gradiente di una funzione reale del piano. Il gradiente della funzione distanza da un punto fissato consente quindi di risolvere in modo unitario i problemi precedentemente affrontati dandone una potente immagine geometrica. Si applica infine il metodo del gradiente a un problema classico di tempo minimo legato alla legge di Snell.

Carlo Toffalori – Blaise Pascal tra infiniti e infinitesimi.

Presentiamo i contributi di Pascal agli albori del calcolo infinitesimale e il suo uso degli indivisibili. Ma discutiamo anche il Pascal scrittore e pensatore, “poeta perduto nel tempo e nello spazio”, e le sue riflessioni sulla condizione dell’uomo, equidistante tra l’infinito e l’infinitesimale. Commentiamo i paragoni matematici “non standard” da lui impiegati.

Mauro di Nasso – Considerazioni sui fondamenti dell’Analisi Non Standard

Nell’analisi non-standard, i fondamenti logici sono particolarmente rilevanti. Essi hanno infatti fornito una rigorosa giustificazione al calcolo con numeri infinitesimi, una pratica che per secoli è stata ritenuta contraddittoria, e che ha ottenuto piena riabilitazione in matematica solo negli anni ’60 del secolo scorso grazie allo straordinario contributo di Abraham Robinson. In questo intervento, presenterò alcuni aspetti della ricerca sui fondamenti dell’analisi non-standard. In particolare, discuterò dell’esistenza di modelli di numeri iperreali con proprietà speciali, mostrerò l’esistenza di diverse possibili presentazioni dell’analisi non-standard tutte tra loro equivalenti, e presenterò alcune teorie che assiomatizzano nella massima generalità l’analisi non-standard e  le sue tecniche, le cosiddette “teorie non-standard degli insiemi”.

Vieri Benci – Un possibile percorso didattico dalle numerosità ai numeri euclidei

L’utilità degli infinitesimi e dei metodi nonstandard deriva soprattutto dal calcolo infinitesimale che, in genere, si insegna nell’ultimo anno del liceo. Comunque potrebbe essere utile introdurre gli infinitesimi negli anni precedenti ottenendo i seguenti vantaggi:

  • l’argomento è affascinante e potrebbe stimolare l’interesse verso la matematica;
  • esistono alcune applicazioni della matematica non archimedea al di fuori del calcolo infinitesimale che possono essere fatte e capite con strumenti relativamente elementari nei primi anni delle superiori [per esempio nel calcolo delle probabilità];
  • la capacità di manipolare gli infinitesimi renderà quasi banale la comprensione e le tecniche del calcolo dei limiti;
  • l’uso dei numeri infiniti e infinitesimi, facilita lo sviluppo delle capacità di astrazione dello studente.

Per quanto detto, un possibile percorso didattico potrebbe essere il seguente:

  1. Introdurre un numero che rappresenta la numerosità dell’insieme N dei numeri naturali.
  2. Si può dare un significato anche ad altri numeri infiniti quali:
    1. α−5 numerosità dei numeri n≥5
    2. α/2 numerosità dei numeri pari
    3. √α numerosità dei numeri quadrati
    4. α2 numerosità delle coppie di numeri naturali
  3. Introdurre la nozione di grandezza non archimedea e il campo dei numeri euclidei [i numeri euclidei sono i numeri iperreali ai quali è stata aggiunta una struttura che permette di identificare le numerosità con N*].
    1. applicazioni con esercizi al calcolo delle probabilità;
    2. angoli di contingenza (eventualmente in seguito con la trigonometria).
  4. Parte standard.
  5. Numeri reali introdotti come la parte standard di somme transfinite di numeri razionali. Per esempio: π=st(3+1/10+4/102+1/103+…)
  6. α -limite.
  7. Limite di Cauchy come parte standard di un α-limite.

A questo punto si possono usare le solite tecniche dell’ANS.

Comunicazioni accettate

Leonardo Aldegheri – Gli infinitesimi nell’opera del marchese de l’Hôpital e l’origine della sua famosa regola.

In questo breve intervento si propone la riscoperta del testo “Analyse des infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes”, pubblicato nel 1696 dal marchese de l’Hôpital, riconosciuto come il primo manuale di analisi infinitesimale e che prende le mosse dalle ricerche di Leibniz e dei fratelli Jakob e Johann Bernoulli. In particolare si illustreranno i primi elementi di calcolo differenziale, o delle differenze, presenti nell’ ‘’Analyse’’, soffermandosi sul concetto di infinitesimo usato da de l’Hôpital e sui postulati da cui egli parte per la costruzione di questo “nuova” analisi matematica. Infine ci si soffermerà sulla famosa regola di de l’Hôpital notando come appare nel manuale e ricercandone l’origine nel carteggio che si scambiarono de l’Hôpital e Johann Bernoulli tra il 1693 e il 1694.

Loredana Biacino – Una definizione algebrico-geometrica di derivata

L’Annotazione n. 32 di Peano al trattato di analisi infinitesimale Genocchi-Peano prende spunto da una definizione geometrica di derivata presente nel secondo libro del Treatise of Fluxions di Mac Laurin, definizione che non fa riferimento alla cinematica o alla teoria delle prime e ultime ragioni di grandezze evanescenti. Peano la traduce semplificandola e precisandola in modo da ottenere una definizione rigorosa. Nella comunicazione, a tale definizione è data una veste aritmetica, nel senso che la derivata è definita come elemento di separazione di un’opportuna classe di insiemi separati e contigui. Inoltre, sempre prendendo spunto da un’idea di Peano, si studia un tipo di derivabilità che comporta la continuità della derivata.

Pietro Cacciatore – Il concetto di continuità nel curricolo liceale

La formazione matematica degli studenti, e più in generale di una persona colta, dovrebbe fondarsi oltre che su specifiche nozioni e singoli argomenti, anche sui temi che hanno attraversato la storia della disciplina. È questo il caso del concetto di continuità che, a ben vedere, appare in modo più o meno esplicito, a seconda degli argomenti, lungo l’intero curricolo liceale. È possibile allora usarlo come una sorta di filo conduttore, richiamandolo alla mente degli studenti ogni volta si presenti l’occasione. Punto di partenza è la scoperta dell’incommensurabilità, sia nei suoi aspetti tecnici, sia in quelli concernenti la crisi della Scuola pitagorica; anche riguardo alle conquiste matematiche, e alla conoscenza della Natura in generale. Fortemente collegato al concetto di continuità è il Teorema di Talete, nel caso, spesso trascurato, dell’incommensurabilità. Al terzo anno gli studenti sono ormai pronti ad affrontare gli assiomi di continuità, nella forma di Dedekind e Cantor, potendo così, finalmente, giustificare rigorosamente risultati ottenuti negli anni precedenti, e conseguirne di nuovi, come ad esempio la quadratura del cerchio. Argomento quest’ultimo che corona un percorso iniziato con la quadratura delle lunule, con riga e compasso, ad opera di Ippocrate. Una più approfondita comprensione del concetto di continuità emerge dal rapporto col concetto di infinito: cardinalità di razionali e reali da una parte, e algebrici e trascendenti dall’altra. Al quarto anno gli studenti hanno tutti gli strumenti per intraprendere lo studio della teoria assiomatica dei numeri reali (Hilbert), e il corrispondente modello fondato sulle sezioni di Dedekind. Punto culminante di questa sezione è la completezza dei reali. Altre tre questioni, affrontate tra quarto e quinto anno, e ognuna carica di risvolti epistemologici, sono infine direttamente collegate al concetto di continuità: l’identità fra la definizione di rapporti tra grandezze incommensurabili nel senso di Eudosso-Euclide e in quello del modello fondato sulle sezioni di Dedekind; il ruolo giocato dall’Assioma di Archimede nella dimostrazione del Teorema di Talete; la presenza nell’opera di Euclide di grandezze infinitesime in atto che violano l’assioma appena ricordato.

Andrea Centomo – Il problema della scatola origami

Il problema di ottenere la scatola a forma di parallelepipedo di volume massimo, ottenuta ritagliando dagli angoli di un foglio rettangolare quattro quadrati congruenti, è un problema di massimo ben noto che si può risolvere subito in NSA applicando il metodo di Fermat nel caso semplice di un funzione polinomiale di terzo grado. Per rendere più interessante il problema sul piano didattico, alcuni autori hanno suggerito in modo opportuno di arricchirlo accompagnandone lo studio matematico con la costruzione, via paper folding, della scatola. In questo intervento mi ripropongo di esplorare un cammino inverso rispetto al precedente: a partire da un modello di scatola origami, più complesso di un semplice parallepipedo, di cui viene assegnato il crease pattern, si risolve con NSA un problema di minimo per una funzione razionale allo scopo di ridurre il consumo di carta da utilizzare per realizzare il modello. L’approccio seguito si inquadra idealmente nel novero dei problemi di ottimo relativi al paper folding, alcuni dei quali sono ad oggi ancora aperti. I contenuti sviluppati sono adatti a studenti del terzo anno della scuola secondaria di II grado.

Achille Maffini – Riflessioni su infiniti e infinitesimi come base di un (vero) percorso interdisci-plinare

Quest’anno, nell’Esame di Stato, è stata introdotta una significativa novità a proposito della prova orale: il tema, sorteggiato dal candidato all’interno di una terna proposta dalla commissione, doveva servire da spunto per un colloquio interdisciplinare condotto dal candidato stesso. Senza entrare nel merito dell’efficacia della nuova modalità per testare le competenze degli studenti, ciò che interessa osservare in questo contesto è come non sia sempre facile, anche sul piano didattico, impostare un percorso di matematica che permetta di collegarsi allo sviluppo del pensiero occidentale. Al di là degli aspetti tecnici relativi all’analisi standard e a quella non standard, le scelte che hanno portato a specifiche formalizzazioni a discapito di altre hanno origini ben precise nel percorso filosofico ed epistemologico della storia della matematica e del pensiero occidentale. L’intervento si propone quindi di analizzare, in ottica epistemologica, alcune tappe e il contributo di alcuni pensatori (come ad esempio Aristotele, Cusano, Archimede, Berkeley, de l’Hospital) allo sviluppo delle idee di infiniti e infinitesimi, sia in atto che in potenza, per cercare di capire come mai alcune idee abbiano prevalso su altre e quale ruolo abbiano svolto in tale percorso; in particolare ci si soffermerà sul pensiero di Leibniz e della sua influenza nell’opera di Robinson. In sostanza, il contributo vuole fornire un esempio di come sia possibile collegare gli aspetti formali della matematica al pensiero filosofico sottostante e far cogliere così la matematica come parte integrante del pensiero occidentale, nell’ottica di una vera conoscenza interdisciplinare. Il problema ontologico relativo a infiniti e infinitesimi è quindi il supporto di una riflessione sulla nascita delle idee e dei concetti e, in ultima istanza, su cosa si possa intendere (e su cosa si sia inteso nei secoli) per realtà matematica.

Daniele Zambelli – Limiti e analisi non standard

L’approccio non standard permette una trattazione più intuitiva dei limiti e della continuità. Partendo dal confronto delle definizioni, saranno proposti alcuni limiti risolti con i metodi dell’analisi non standard. Dati i tempi stretti, i due concetti importanti – la funzione Parte Standard e la relazione di Indistinguibilità – saranno solo richiamati velocemente. Questo argomento viene proposto nelle classi terze di un liceo economico sociale,  la teoria e gli esercizi sono contenuti nel testo Matematica Dolce volume 3”, e ripreso nel volume 5 (vedi: www.matematicadolce.eu).

Roberto Zanasi – Il principio del trasferimento al contrario

Considerazioni sul funzionamento del principio del trasferimento al contrario, cioè come si può passare da proprietà valide per indici infiniti a proprietà valide per indici finiti.